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자코비안 (Jacobian)

자코비안 (jacobian) 1) 정의 $$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$$ - 자코비안 행렬의 원소들은 모두 1차 미분 계수로 미소 변화에 관한 선형 변환이다. - 비선형 변환에서 변환이 일어나고 있는 부분을 확대하면 선형성이 있어 보이는 것을 증명할 수 있다. 2) 비선형 변환 속의 선형 변환 - 행렬은 선형 변환으로 변환 후에도 격자 간의..
Math/Calculus 2021. 2. 3. 15:22

라플라시안 (Laplacian)

라플라시안 (laplacian) 1) 정의 - 유클리드 공간의 2차 연속 미분 가능 함수에 대해 라플라스 연산자는 함수에 대한 기울기의 발산이다. $$\Delta f = \nabla \cdot \nabla f$$ 2) 기울기의 발산 - 스칼라 함수에 대해 기울기 연산 (편미분)을 취해준 뒤에 발산을 구해 스칼라 값을 구하는 것이다. - 위의 그래프에서 파인 곳에서는 발산의 양수 값이 되고 솟은 곳에서는 발산의 음수 값이 나온다. - 이를 통해, 기울기(gradient)에서 발산(divergence)를 취하면 함수의 높낮이를 구할 수 있다. 3) 계산 방법 - 위의 정의에서 볼 수 있듯이 편미분을 실시하고 다시 편미분에 내적을 하기 때문에 스칼라 값이 나오는 것을 알 수 있다. 조화 함수 (harmonic..
Math/Calculus 2021. 2. 3. 10:46

발산 (Divergence) & 회전 (Curl)

벡터장 (vector field) 1) 개요 - 유체의 흐름으로 간단하게 생각할 수 있다. $$\displaystyle \mathbf {F} :A\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$$ - 정의역 A의 모든 원소 x에 벡터 F(x)를 대응시킨다. - 입자의 속도는 벡터 화살표의 길이와 방향과 일치한다. 2) 벡터장의 흐름을 보다보면 밀도가 높아지거나 낮아지는 부분이 있을 수 있다. - 벡터 함수 (벡터장)에서 밀도 변화를 계산하기 위해 발산의 개념을 사용한다. 발산 (divergence) 1) 정의 - 벡터장에서 정의된 공간의 한 점에서 장(vector)이 퍼져나오는지, 모여서 사라지는지 정도를 측정하는 연산자이다. 2) 계산 $$\nabla \cdot \vec..
Math/Calculus 2021. 2. 2. 14:41

벡터 함수의 미분

벡터 함수 1) 정의 - 벡터 함수의 미분은 각각의 요소를 미분하는 것과 같다. - 최초의 함수를 시간 함수로써 위치를 제공하는 것으로 해석한다면, 미분은 속도(velocity)벡터를 제공한다. $$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} {x(t)} \\{y(t)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {x'(t)} \\ {y'(t)} \end{bmatrix}$$ 2) 설명 - 파란색 선은 초기 함수의 벡터 값의 끝점을 이은 선이고 초록색 선을 특정 n값에서의 벡터를 나타낸 것이다. - 위의 식에서 미분을 이후에 나타난 두 함수 값은 여전히 2차원 상의 벡터 값으로 표현할 수 있는데 같은 n값을 넣은 경우이다. 이때, 초기 함수의 속도 벡터를 의미한다. 곡률 (Curvatur..
Math/Calculus 2021. 1. 31. 23:05

편미분 (partial derivative)

편미분 (partial derivative) 1) 정의 - 변수가 2 개 이상인 함수 (다변량 함수)를 다룰 때 사용한다. - 한 개의 변수를 제외하고 나머지 변수를 상수로 두었을 때, 함수의 변화량을 살펴보기 위해서 사용한다. 2) 방법 - 상미분과 반대로 변수가 두 개 이상인 함수에서 하나의 변수를 제외한 나머지를 상수로 놓고 미분 $$f(x, y) = x^{2}y + y$$ $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y$$ $$\frac{\partial f}{\partial x} (a, b)= \mathop {\lim }\limits_{ h \to 0} \frac{{f\left( {a + h, b } \right) - f\left( a, b \right)}}{ h }$$..
Math/Calculus 2021. 1. 28. 17:40

벡터2

선형사상 1) 정의 - 두 벡터 공간 사이에 정의되는 선형성을 갖는 함수 - 원점을 지나는 일차함수를 의미한다. - 벡터의 함수로 생각하면 간단하게 이해할 수 있다. 2) 조건 $$T(v + w) = T(v) + T(w)$$ $$T(av) = aT(v)$$ 3) 용어 정리 - Image (range) : 치역 (함수에 정의역을 넣었을 때, 나오는 값) - null space, 핵공간, 핵집합, 영공간, kernel : 치역에서 0으로 가는 값을 의미한다. - nullity^T = 핵의 차원 = dim(kerT) - rank^T = 치역의 차원 = dim(InT) - nullity T = n - rank T ; n = 열의 개수 기본 연산 1) 상수배 - 벡터 x와 스칼라 k에 대하여 다음이 성립하여야 함..
Math/Linear Algebra 2021. 1. 26. 21:15

닮은과 대각화 행렬

닮은 행렬 1) 정의 - A, B가 정방행렬일 때, B = P^-1 A P 이 존재할 때, A, B는 닮은 행렬이다. 단, P는 아무 가역행렬(역행렬 존재)이다. 2) 성질 - 행렬식 값이 같다. - Rank가 같다. - Trace가 같다. (대각합) - 고유치는 같다. 단, 고유벡터의 같음은 보장할 수 없다. 행렬의 대각화 $$Q^{-1}AQ = D$$ - Q : 대각화시키는 행렬 (A행렬의 고유벡터로 이루어진 행렬) - D : 대각화 행렬 (A행렬의 고유값으로 이루어진 행렬) - 대각화가 가능하려면 일차독립인 고유벡터의 개수가 n x n 행렬에서 n개 존재해야 한다. - 고유값 분해를 통해 대각화를 할 수 있는데 이를 이용하여 행렬식, 거듭제곱, 역행렬 등을 쉽게 구할 수 있다. 2) 성질 - 닮은 ..
Math/Linear Algebra 2021. 1. 25. 19:53

기저와 차원

기저 1) 정의 - 벡터 공간의 기저는 그 벡터 (1) 공간을 선형생성하는 (2) 선형독립인 벡터들이다. - 벡터 공간의 임의의 벡터에게 선형결합으로 유일한 표현을 부여하는 벡터들이다. - 해당 공간의 핵심으로 기저만 있으면 공간을 표현할 수 있으며, 정해져 있지 않다. 2) 성질 - 서로 수직인 단위벡터의 집합 - 기저는 유일하지 하지 않지만 기저를 구성하는 벡터의 수는 유일하다. (2차원 : 2개, 3차원 : 3개, etc) 3) 예시 - 표준 기저 : 2차원 = (n, 0), (0, m) 3차원 = (i, 0, 0), (0, j, 0), (0, 0, k) - 행렬의 표준기저 $$M_{2x2}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 &..
Math/Linear Algebra 2021. 1. 25. 17:15

벡터 공간 및 부분 공간

벡터 공간 1) 공간의 정의 - 집합 V의 임의의 원소 u, v와 임의의 스칼라 k에 대해 u + v ∈ V, ku ∈ V를 만족할 때, 집합 V를 공간 2) 벡터 공간의 정의 - 위의 2가지 조건을 만족하고 추가로 8개의 조건을 만족한다면 벡터 공간의 정의라고 한다. - 다만, 10가지 조건을 만족하는지 확인하기에는 시간이 많이 소요되기 때문에 8개 중 1가지만 확인 - u + 0 = u (zero vector 존재 유무; "원점을 지나는가?") - 결과적으로 총 3가지만 확인해보는 것이다. 3) 부분 공간의 정의 - 벡터공간 V에 포함된 부분집합 W가 벡터공간의 정의를 만족할 때, 부분공간 W라 한다. - 원점을 지나가지 않으면 zero vector 조건을 만족하지 못하고 부분공간이 될 수 없다. -..
Math/Linear Algebra 2021. 1. 24. 23:28

Rank

Rank 1) 정의 - 행렬 A의 랭크는 해당 행렬의 열벡터에 의해 span된 벡터공간의 차원 - 행렬이 나타낼 수 있는 벡터 공간에서 기저의 개수 - 행렬 A의 선형 독립인 열들의 최대 개수를 rank 2) 성질 - 행렬 A의 랭크와 행렬 A의 전치행렬의 랭크는 같다. $$rank(A) = rank(A^{T})$$ - m by n 행렬에서는 다음의 식이 성립한다. $$n = rank(A) + nullity(A)$$ $$m = rank(A^{T}) + nullity(A^{T})$$ Full rank $$n = rank(A) 또는, m = rank(A^{T})일때, full rank$$
Math/Linear Algebra 2021. 1. 24. 23:21