기저와 차원

기저

1) 정의

    - 벡터 공간의 기저는 그 벡터 (1) 공간을 선형생성하는 (2) 선형독립인 벡터들이다.

    - 벡터 공간의 임의의 벡터에게 선형결합으로 유일한 표현을 부여하는 벡터들이다.

    - 해당 공간의 핵심으로 기저만 있으면 공간을 표현할 수 있으며, 정해져 있지 않다.

 

2) 성질

    - 서로 수직인 단위벡터의 집합

    - 기저는 유일하지 하지 않지만 기저를 구성하는 벡터의 수는 유일하다. (2차원 : 2개, 3차원 : 3개, etc)

 

3) 예시

    - 표준 기저 :  2차원 = (n, 0), (0, m)   3차원 = (i, 0, 0), (0, j, 0), (0, 0, k)

    - 행렬의 표준기저

$$M_{2x2}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 &0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}$$

    - P_n의 표준기저

$$M_{n} = {1, x, x^{2}, ..., x^{n}}$$

 

차원

1) 정의

    - 기저 벡터의 개수 (기저는 변할 수 있지만 기저의 개수는 변하지 않는다.)

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데카르트 좌표계 (일반적인 좌표)

1) 기저 벡터

    - 일반적으로 사용되는 좌표계로 기저벡터는 (1, 0), (0, 1)을 가리키고 이를 표준기저(standard basis)라고 부름

 

새로운 기저를 이용한 좌표계

1) 예시

    - 새로운 기저 벡터를 b1 (1, 1), b2 (-1, 1)이라고 가정 했을 때, 표준 기저에서 (2, 2)로 표현되던 벡터가 (2, 0)으로 표현 가능

$$\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}=k_1\begin{bmatrix}| \\ b_1 \\ |\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}| \\ b_2 \\ |\end{bmatrix}$$

새로운 기저를 이용해 표현한 좌표는 위의 관계식을 만족해야함 (k1, k2)

$$\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}| & | \\ b_1 & b_2 \\ | & |\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\end{bmatrix}$$

위와 같이 표현할 수 있으며, 역행렬을 사용해 계산하면 답을 구할 수 있음

 

    - 표준기저에서 좌표 (3, 4) = 3 * (1, 0) + 4 * (0, 1)로 표현할 수 있다.

    - 기저를 (1, 1), (0, 1)로 변환했을 때의 좌표는 3 * (1, 1) + 1 * (0, 1) = (3, 1)의 좌표가 나온다.

 

신규 기저 간의 변환

1) 두 개의 신규 기저가 있을 때의 기저 변환 행렬(transition matrix)

    - 한 개의 신규 기저를 기준으로 일차결합을 표현할 수 있음

$$w_1 = a v_1 + b v_2$$

$$w_2 = a v_1 + b v_2$$

    - 같은 벡터에 대한 서로 다른 기저의 표현은 다음과 같음

$$k_1 v_1 + k_2 v_2 = l_1 w_1 + l_2 w_2$$

$$[v]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix}k_1 \\ k_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}al_1 + cl_2 \\ bl_1 + dl_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & c \\ b & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}l_1 \\ l_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a & c \\ b & d\end{bmatrix}[v]_{\mathcal{C}}$$

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- 본 글은 공돌이의 수학정리노트 angeloyeo.github.io/를 참고하여 작성되었습니다.

- 저에게 필요한 부분만 정리하였으니 더욱 자세한 설명은 위의 사이트를 참조하세요.