자코비안 (Jacobian)

자코비안 (jacobian)

1) 정의

$$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$$

    - 자코비안 행렬의 원소들은 모두 1차 미분 계수로 미소 변화에 관한 선형 변환이다.

    - 비선형 변환에서 변환이 일어나고 있는 부분을 확대하면 선형성이 있어 보이는 것을 증명할 수 있다.

 

2) 비선형 변환 속의 선형 변환

    - 행렬은 선형 변환으로 변환 후에도 격자 간의 간격이 균등하고 직선의 형태를 유지하고 있다.

    - 하지만 아래의 그래프처럼 비선형 변환도 존재한다.

출처 : khanacademy.org

    - 이를, 확대하여 관찰하면 비선형 변환 속에서 선형 변환을 찾을 수 있다.

    - 국소 관찰하는 부분의 특정 부분을 원점으로 두고 행렬을 얻으면 비선형 변환을 선형 변환으로 근사시킨 자코비안 행렬을 얻을 수 있다.

 

자코비안 행렬식 (jacobian determinant)

1) 정의

    - 행렬식은 선형 변환 시 면적의 변화를 나타내는데 자코비안 행렬식을 사용하여도 행렬식을 구할 수 있다.

 

2) 적용

    - 기준 원점의 좌표를 자코비안 행렬식에 넣어 연산을 했을때의 값에 따라 해석을 달리 할 수 있다.

    - J > 1 : Expand finitely

    - J = 0 : contract infinitely

    - J < 1 : contract finitely

    - J = 1 : Same