라플라시안 (Laplacian)

라플라시안 (laplacian)

1) 정의

    - 유클리드 공간의 2차 연속 미분 가능 함수에 대해 라플라스 연산자는 함수에 대한 기울기의 발산이다.

$$\Delta f = \nabla \cdot \nabla f$$

 

2) 기울기의 발산

    - 스칼라 함수에 대해 기울기 연산 (편미분)을 취해준 뒤에 발산을 구해 스칼라 값을 구하는 것이다.

출처 : khanacademy.org

    - 위의 그래프에서 파인 곳에서는 발산의 양수 값이 되고 솟은 곳에서는 발산의 음수 값이 나온다.

    - 이를 통해, 기울기(gradient)에서 발산(divergence)를 취하면 함수의 높낮이를 구할 수 있다.

 

3) 계산 방법

    - 위의 정의에서 볼 수 있듯이 편미분을 실시하고 다시 편미분에 내적을 하기 때문에 스칼라 값이 나오는 것을 알 수 있다.

 

조화 함수 (harmonic function)

1) 정의

    - 라플라시안의 해가 되는 함수

 $$\Delta f = 0$$

출처 : khanacademy.org