Math/Calculus 검색 결과

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Taylor series (테일러 급수)

Taylor Series 1) 정의 일반적인 대수함수의 경우, 미분을 반복하다 보면 0이 된다. 하지만 초월함수는 무한히 미분할 수 있고 유한한 대수 연산으로 표현 불가하다. $$ex)\;\;f(x) = x^{\pi},\; f(x) = sinx$$ 따라서 특정 x값 이외에는 함수값을 찾을 수 없다. 이런 초월함수를 다향함수에 근사한 함수가 테일러 급수이다. $$f(x)=p_{\infty}(x)$$ $$p_{n}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}a}{n!}(x-a)^{n}$$ $$=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}$$ 테일러 급수 유도 : https://hsm-edu.tis..
Math/Calculus 2021. 3. 9. 14:20

경사하강법의 직관적, 수학적 이해

Local maxima and minima 1) 개요 - scalar 값을 output으로 가지는 다변수 함수를 아래와 같이 떠올릴 수 있다. 이때, 각 꼭짓점들을 local maximum이라고 일컫는다. - local maximum point : local maximum이 나오게 하는 입력값 (xn, yn) - global maximum은 local과 구분 짓게 되는데 이때의 값은 가장 큰 값을 의미한다. - 위의 사진의 위아래를 뒤집어 떠올릴 때는 local minimum point와 local minimum이 존재한다. 2) stable points - 함수의 특정 지점에서 기울기가 0이 되게 하는 값 - 다변수 함수에서 local maximum 또는 minimum은 편미분이 0이 될 것이다 Tes..
Math/Calculus 2021. 2. 5. 17:16

헤시안 행렬 (Hessian matrix) / Frangi filter

헤시안 행렬 (hessian matrix) 1) 정의 - 다변수 함수의 헤시안 행렬은 2계 편미분으로 구성되어 있다. - 오직 스칼라 함수에만 적용이 가능하다. $$H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n} \\\\ \frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} & \cdots & \vdots \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \..
Math/Calculus 2021. 2. 4. 15:54

자코비안 (Jacobian)

자코비안 (jacobian) 1) 정의 $$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$$ - 자코비안 행렬의 원소들은 모두 1차 미분 계수로 미소 변화에 관한 선형 변환이다. - 비선형 변환에서 변환이 일어나고 있는 부분을 확대하면 선형성이 있어 보이는 것을 증명할 수 있다. 2) 비선형 변환 속의 선형 변환 - 행렬은 선형 변환으로 변환 후에도 격자 간의..
Math/Calculus 2021. 2. 3. 15:22

라플라시안 (Laplacian)

라플라시안 (laplacian) 1) 정의 - 유클리드 공간의 2차 연속 미분 가능 함수에 대해 라플라스 연산자는 함수에 대한 기울기의 발산이다. $$\Delta f = \nabla \cdot \nabla f$$ 2) 기울기의 발산 - 스칼라 함수에 대해 기울기 연산 (편미분)을 취해준 뒤에 발산을 구해 스칼라 값을 구하는 것이다. - 위의 그래프에서 파인 곳에서는 발산의 양수 값이 되고 솟은 곳에서는 발산의 음수 값이 나온다. - 이를 통해, 기울기(gradient)에서 발산(divergence)를 취하면 함수의 높낮이를 구할 수 있다. 3) 계산 방법 - 위의 정의에서 볼 수 있듯이 편미분을 실시하고 다시 편미분에 내적을 하기 때문에 스칼라 값이 나오는 것을 알 수 있다. 조화 함수 (harmonic..
Math/Calculus 2021. 2. 3. 10:46

발산 (Divergence) & 회전 (Curl)

벡터장 (vector field) 1) 개요 - 유체의 흐름으로 간단하게 생각할 수 있다. $$\displaystyle \mathbf {F} :A\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$$ - 정의역 A의 모든 원소 x에 벡터 F(x)를 대응시킨다. - 입자의 속도는 벡터 화살표의 길이와 방향과 일치한다. 2) 벡터장의 흐름을 보다보면 밀도가 높아지거나 낮아지는 부분이 있을 수 있다. - 벡터 함수 (벡터장)에서 밀도 변화를 계산하기 위해 발산의 개념을 사용한다. 발산 (divergence) 1) 정의 - 벡터장에서 정의된 공간의 한 점에서 장(vector)이 퍼져나오는지, 모여서 사라지는지 정도를 측정하는 연산자이다. 2) 계산 $$\nabla \cdot \vec..
Math/Calculus 2021. 2. 2. 14:41

벡터 함수의 미분

벡터 함수 1) 정의 - 벡터 함수의 미분은 각각의 요소를 미분하는 것과 같다. - 최초의 함수를 시간 함수로써 위치를 제공하는 것으로 해석한다면, 미분은 속도(velocity)벡터를 제공한다. $$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} {x(t)} \\{y(t)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {x'(t)} \\ {y'(t)} \end{bmatrix}$$ 2) 설명 - 파란색 선은 초기 함수의 벡터 값의 끝점을 이은 선이고 초록색 선을 특정 n값에서의 벡터를 나타낸 것이다. - 위의 식에서 미분을 이후에 나타난 두 함수 값은 여전히 2차원 상의 벡터 값으로 표현할 수 있는데 같은 n값을 넣은 경우이다. 이때, 초기 함수의 속도 벡터를 의미한다. 곡률 (Curvatur..
Math/Calculus 2021. 1. 31. 23:05

편미분 (partial derivative)

편미분 (partial derivative) 1) 정의 - 변수가 2 개 이상인 함수 (다변량 함수)를 다룰 때 사용한다. - 한 개의 변수를 제외하고 나머지 변수를 상수로 두었을 때, 함수의 변화량을 살펴보기 위해서 사용한다. 2) 방법 - 상미분과 반대로 변수가 두 개 이상인 함수에서 하나의 변수를 제외한 나머지를 상수로 놓고 미분 $$f(x, y) = x^{2}y + y$$ $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y$$ $$\frac{\partial f}{\partial x} (a, b)= \mathop {\lim }\limits_{ h \to 0} \frac{{f\left( {a + h, b } \right) - f\left( a, b \right)}}{ h }$$..
Math/Calculus 2021. 1. 28. 17:40

미분 기본

미분 (derivative) 1) 함수에 대한 입력의 순간변화량에 대한 출력의 순간변화량의 비율을 도출 2) 임의의 점에 접하는 직선의 기울기 - e.g. 시간에 따른 이동거리를 나타내는 함수가 있을 때, 특정 시각에 속도를 구하고자 한다. 하지만, 움직이는 자동차의 사진을 찍었을 때, 속도나 속력을 알 수 없듯이 해당 시각의 정확한 속도를 구하는 것에는 모순이 있다. 그래서 매우 짧은 시간과 이동 거리에 따른 속력을 구한다. 아래의 사진은 유튜브 3Blue1Brown에서 가져왔음. - 해당 부분에서 시각은 얼마든지 변해도 상관이 없기 때문에 이를 함수로 나타낼 수 있다. 도함수 (derivative) 1) 함수가 주어질 때, 각각의 x의 값에 미분계수가 하나씩 대응되는 함수 $$\mathop {\lim..
Math/Calculus 2020. 12. 30. 11:45