벡터 공간 및 부분 공간

벡터 공간

1) 공간의 정의

    - 집합 V의 임의의 원소 u, v와 임의의 스칼라 k에 대해 u + v ∈ V, ku ∈ V를 만족할 때, 집합 V를 공간

 

2) 벡터 공간의 정의

    - 위의 2가지 조건을 만족하고 추가로 8개의 조건을 만족한다면 벡터 공간의 정의라고 한다.

    - 다만, 10가지 조건을 만족하는지 확인하기에는 시간이 많이 소요되기 때문에 8개 중 1가지만 확인

    - u + 0 = u (zero vector 존재 유무; "원점을 지나는가?")

    - 결과적으로 총 3가지만 확인해보는 것이다.

 

3) 부분 공간의 정의

    - 벡터공간 V에 포함된 부분집합 W가 벡터공간의 정의를 만족할 때, 부분공간 W라 한다.

    - 원점을 지나가지 않으면 zero vector 조건을 만족하지 못하고 부분공간이 될 수 없다.

    - R^2 (2차원)의 부분공간은 {0}과 R^2와 원점을 지나는 모든 직선

    - R^3 (3차원)의 부분공간은 {0}과 R^2와 원점을 지나는 모든 직선, 평면

 

일차종속 및 독립

1) 일차결합

    - 벡터공간 V의 원소 v1, v2, …, vn에 대해 a1, a2, …, an이 임의의 실수일 때,

      a1v1 + a2v2, …, anvn을 v1, v2, …, vn의 일차결합이라 한다.

$$a_1\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}+a_2\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}+…+a_n\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$$

    - 일차결합을 계산하여 나온 것을 생성이라 한다.

 

2) 일차(선형)독립

    - 벡터공간 V의 원소 v1, v2, …, vn에 대해 a1, a2, …, an이 임의의 실수에 대해

       a1v1 + a2v2, …, anvn = 0이라 할 때, a1 = a2 = … = an = 0이면 원소는 독립이다.

 

3) 일차(선형)종속

    - a1, a2, …, an 중 적어도 하나가 0이 아닐 때, 원소는 종속이다.

 

실수배하고 더하거나 빼서 다른 원소를 하나라도 만들어낼 수 있으면 종속 못하면 독립

 

4) 일차(선형)종속 예시

    - R^2의 벡터 (1, 0), (0, 1), (2, 1)는 아래와 같이 0이 아닌 경우가 있어서 종속임을 알 수 있다.

$$2\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$$

 

5) 행렬식으로 판별

    - 열벡터들을 눕혀서 행렬로 만들고 행렬식이 0이면 일차종속, 0이 아니면 일차독립

    - 정방행렬로 나타난다면 행렬식으로 푼다.

 

6) Rank로 판별

    - Rank는 일차(선형)독립의 최대개수를 알아낼 수 있는데 차원의 수 가 공간의 차원 수보다 작다면 일차종속으로 볼 수 있다.