벡터2

선형사상

1) 정의

    - 두 벡터 공간 사이에 정의되는 선형성을 갖는 함수

    - 원점을 지나는 일차함수를 의미한다.

    - 벡터의 함수로 생각하면 간단하게 이해할 수 있다.

 

2) 조건

$$T(v + w) = T(v) + T(w)$$

$$T(av) = aT(v)$$

 

3) 용어 정리

    - Image (range) : 치역 (함수에 정의역을 넣었을 때, 나오는 값)

    - null space, 핵공간, 핵집합, 영공간, kernel : 치역에서 0으로 가는 값을 의미한다.

    - nullity^T = 핵의 차원 = dim(kerT)

    - rank^T = 치역의 차원 = dim(InT)

    - nullity T = n - rank T ; n = 열의 개수

 

기본 연산

1) 상수배

    - 벡터 x와 스칼라 k에 대하여 다음이 성립하여야 함

$$x \in V, k \in R \Rightarrow kx \in V$$

    - 스칼라 k에 대하여 벡터 값이 커지거나 작아짐

 

2) 벡터 간의 합

    - 벡터 x와 y에 대하여 다음이 성립하여야 함

$$x, y \in V \Rightarrow x + y \in V$$

 

    - 두 벡터 간의 크기와 방향을 합하면 평행사변형 꼴을 그릴 수 있는 벡터값이 나옴

 

상수배와 벡터 간의 합이 잘 정의된다면 선형성을 만족한다고 할 수 있음

 

선형변환

벡터의 특성(힘과 방향)은 그대로이며 공간만 변화

 

1) 다음 두 조건을 만족한다면 변환 T는 선형변환

$$T(\vec a + \vec b) = T(\vec a)+T(\vec b)$$

$$T(c \vec a) = c T(\vec a)$$

 

2) 변환 후에도 선의 형태이며 격자 간의 간격이 균등해야 함.

    - 기저 벡터의 변형을 통한 벡터의 선형 변환을 의미

 

선형 결합 (linear combination)

    - 상수배와 벡터간의 합

    - 벡터 간의 선형 결합이 어떤 벡터공간 전체에 대응된다는 개념은 span 즉, 벡터 공간의 생성을 의미

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행렬곱

1) 행벡터와 열벡터 간의 내적(inner product)을 계산

$$\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2 = |\vec{v}_1||\vec{v}_2|\cos\theta$$ (벡터의 내적)

 

2) 열벡터의 선형결합

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a \\ c \end{bmatrix} = a\cdot\begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} + c\cdot\begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix}$$

 

3) span을 기반한 해석

    - 행렬과 벡터의 곱은 주어진 벡터를 이용해 만들 수 있는 벡터 공간

    - 선형회귀

    ex) 앞선 두 벡터로부터 생성된 벡터공간 내에 벡터 [3 5]가 존재한다면 어떤 x, y값으로 [3 5]를 구할 수 있을지에 대한 문제 해결

$$x\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$$

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행벡터

1) 기능과 역할

    - 행벡터는 변화의 대상이 되는 열벡터를 변화시키는 일종의 함수 (열벡터를 입력으로 받음)

$$\begin{bmatrix}2 & 1\end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix}3\\-4\end{bmatrix}\right) = 2$$

    - 선형성을 가지고 벡터의 정의를 만족

    - 행벡터의 스칼라배

    - 행벡터 간의 합

 

2) 행공간

    - 벡터의 정의를 만족하는 행벡터들로 구성된 집합

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- 본 글은 공돌이의 수학정리노트 angeloyeo.github.io/와 위키북스 선형대수학 wikidocs.net/book/4356을 참고하여 작성되었습니다.

- 저에게 필요한 부분만 정리하였으니 더욱 자세한 설명은 위의 사이트를 참조하세요.