발산 (Divergence) & 회전 (Curl)

벡터장 (vector field)

1) 개요

    - 유체의 흐름으로 간단하게 생각할 수 있다.

$$\displaystyle \mathbf {F} :A\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$$

    - 정의역 A의 모든 원소 x에 벡터 F(x)를 대응시킨다.

    - 입자의 속도는 벡터 화살표의 길이와 방향과 일치한다.

출처 : khanacademy.org

 

2) 벡터장의 흐름을 보다보면 밀도가 높아지거나 낮아지는 부분이 있을 수 있다.

    - 벡터 함수 (벡터장)에서 밀도 변화를 계산하기 위해 발산의 개념을 사용한다.

 

발산 (divergence)

1) 정의

    - 벡터장에서 정의된 공간의 한 점에서 장(vector)이 퍼져나오는지, 모여서 사라지는지 정도를 측정하는 연산자이다.

 

2) 계산

$$\nabla \cdot \vec{v} = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y}  \end{bmatrix} = \frac{\partial}{\partial x} v_{1} + \frac{\partial}{\partial y}v_{2}$$

 

3) 해석

    - 0보다 작을 경우 (음수) : 밀도가 높아짐 (유체의 흐름이 모인다) sinks

    - 0보다 클 경우 (양수) : 밀도가 낮아짐 (유체의 호름이 퍼져 나온다) sources

    -  0일 경우 : 자유롭게 흐르며 어느 한곳에서 모이거나 퍼져나오지 않는다.

 

회전 (curl)

1) 정의

    - 벡터장에서 정의된 3차원 공간의 한 점에서의 회전력을 측정하는 연산자이다.

 

2) 계산

    - 2차원

$$2dcurl \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$$

    - 3차원

$$curl \vec{v} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z})\hat {i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x})\hat {j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y})\hat {k}$$

 

3) 해석

    - 0보다 클 경우 (양수) : 역시계방향

    - 0보다 작을 경우 (음수) : 시계방향

    - 0일 경우 : 회전이 없다.