편미분 (partial derivative)

편미분 (partial derivative)

1) 정의

    - 변수가 2 개 이상인 함수 (다변량 함수)를 다룰 때 사용한다.

    - 한 개의 변수를 제외하고 나머지 변수를 상수로 두었을 때, 함수의 변화량을 살펴보기 위해서 사용한다.

 

2) 방법

    - 상미분과 반대로 변수가 두 개 이상인 함수에서 하나의 변수를 제외한 나머지를 상수로 놓고 미분

$$f(x, y) = x^{2}y + y$$

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y$$

$$\frac{\partial f}{\partial x} (a, b)= \mathop {\lim }\limits_{ h \to 0} \frac{{f\left( {a + h, b } \right) - f\left( a, b \right)}}{ h }$$

 

기울기 (Gradient)

1) 정의

    - 함수 f의 기울기는 모든 편미분에 대한 벡터이다.

$$\nabla f = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ | \end{bmatrix}$$

 

2) 방법

    - 각 변수에 대해 편미분을 실시하고 벡터로 표현한다.

$$f(x, y, z) = x - xy + z^{2}$$

$$\nabla f(x, y, z) = \begin{bmatrix} 1- y \\ -x \\ 2z \end{bmatrix}$$

 

3) 특징

    - 최대 경사 방향 (direction of steepest ascent) : 벡터로 표현된 벡터에 x, y, z에 input 값을 넣고 나온 벡터값은 최대 경사 방향이 나온다.

    - 기울기는 contour lines에 수직이다. 

 

방향 도함수

1) 정의

    - 벡터값이 주어졌을 때, 이를 내적하여 해당 (x, y)지점에서 의 기울기 값을 구할 수 잇다.

 

$$\nabla_{\vec{v}}f(x, y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix} = v_{1}\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) + v_{2}\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)$$