닮은과 대각화 행렬

닮은 행렬

1) 정의

    - A, B가 정방행렬일 때, B = P^-1 A P 이 존재할 때, A, B는 닮은 행렬이다. 단, P는 아무 가역행렬(역행렬 존재)이다.

 

2) 성질

    - 행렬식 값이 같다.

    - Rank가 같다.

    - Trace가 같다. (대각합)

    - 고유치는 같다. 단, 고유벡터의 같음은 보장할 수 없다.

 

행렬의 대각화

$$Q^{-1}AQ = D$$

    - Q : 대각화시키는 행렬 (A행렬의 고유벡터로 이루어진 행렬)

    - D : 대각화 행렬 (A행렬의 고유값으로 이루어진 행렬)

    - 대각화가 가능하려면 일차독립인 고유벡터의 개수가 n x n 행렬에서 n개 존재해야 한다.

    - 고유값 분해를 통해 대각화를 할 수 있는데 이를 이용하여 행렬식, 거듭제곱, 역행렬 등을 쉽게 구할 수 있다.

 

2) 성질

    - 닮은 행렬과 성질은 같다.

 

3) 예시

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$$

$$\lambda = 1 \text{ or } 3, \vec{v}_1 = \begin{bmatrix} \\ 0\end{bmatrix}, \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1\\ 1\end{bmatrix}$$

$$Q = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$

    - 위의 1, 0, 0, 3이 대각화 행렬이다.