Taylor series (테일러 급수)

Taylor Series

1) 정의

일반적인 대수함수의 경우, 미분을 반복하다 보면 0이 된다. 하지만 초월함수는 무한히 미분할 수 있고 유한한 대수 연산으로 표현 불가하다. $$ex)\;\;f(x) = x^{\pi},\; f(x) = sinx$$

따라서 특정 x값 이외에는 함수값을 찾을 수 없다. 이런 초월함수를 다향함수에 근사한 함수가 테일러 급수이다.

$$f(x)=p_{\infty}(x)$$

$$p_{n}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}a}{n!}(x-a)^{n}$$

$$=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}$$

테일러 급수 유도 : https://hsm-edu.tistory.com/877

 

2) 좌표 a와 차수 k

좌표 a에 가까울수록 원래의 그래프와 일치하고 멀어질수록 오차가 생기며, 차수 k가 높을수록 적용 대상 함수를 잘 근사

출처 : https://suzyahyah.github.io/calculus/optimization/2018/04/06/Taylor-Series-Newtons-Method.html

 

3) 적용 예시

$$f(x)=e^{x},\;\;(a=0)$$

$$f(x)=\sum_{n=0}^{k}\frac{f^{n}(a)(x-a)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{k}\frac{e^{0}x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{k}}{k!}$$

 

4) Maclaurin Series (맥클로린 급수)

a가 0일 때의 테일러 급수 표현 방법이다.

 

테일러 급수 활용

- 복잡한 함수를 다루기 쉽고 이해하기 쉬운 다항함수로 대체

- 복잡한 함수를 저차원의 다항함수로 근사하여 모델을 단순화

- 초월함수에서 특정 지점에서의 주변 함수 값을 알아내는 방법

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참고

darkpgmr.tistory.com/59

3dmpengines.tistory.com/957

angeloyeo.github.io/2019/09/02/Taylor_Series.html

suhak.tistory.com/212

ko.wikipedia.org/wiki/초월함수