행렬식, 역행렬

행렬식

1) 정의

    - 정사각행렬이 나타내는 선형변환이 부피를 확대시키는 정도를 나타낸다.

$$A=\begin{pmatrix}a& b \\ c & d \end{pmatrix} -> det(A) = ad-bc$$

 

2) 성질

    - 2 x 2 행렬의 행렬식은 선형변환 후의 두 기저벡터가 이루고 있는 평행사변형의 넓이

    - 하나의 행 또는 열에 공통인수는 행렬식 밖으로 끌어낼 수 있다.

    - 두 개의 행 또는 열을 바꾸면, 행렬식의 값은 부호만 바뀐다.

    - 하나의 행 또는 열에 실수를 곱하여 다른 행 또는 열에 더하거나 빼도, 행렬식의 값은 변하지 않는다.

    - 두 개의 행 또는 열이 비례면 행렬식 값은 항상 0이다.

$$det(kA)=k^ndet(A)$$

$$det(A^{-1}) = \cfrac{1}{det(A)}$$

 

3) 의미

    - 행렬식의 절대값을 부피이다. (2차원일 경우 넓이)

    - 행렬 내에 영백터가 없는데 행렬식이 0이라면 벡터가 동일 선상에 있는 것과 같다.

 

역행렬

1) 정의

    - 정방행렬이고 가역행렬(역행렬이 존재)일 때 성립한다.

    - BA = AB = I 일 때, B행렬을 A행렬의 역행렬이라 정의한다.

$$B = A^{-1} = \cfrac{1}{det(A)}adj(A)$$

 

2) 활용

    - 선형연립방정식을 풀때 활용

 

3) 성질

$$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$$

$$(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$$

$$(kA)^{-1} = \cfrac{1}{k}A^{-1}  (k != 0)$$