벡터의 내적, 외적, 정사영

내적 (Euclidean inner product, dot product)

1) 정의

    - 두 벡터가 이루는 각을 정의하기 위한 연산

    - a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)의 사잇각 seta 일 때,

$$\vec{a}⋅\vec{b} = ||\vec{a}||\ ||\vec{b}||cos θ = a_1b_1 + a_2b_2 +a_3b_3 = \mathbf{a}^{T}\mathbf{b}$$

 

2) 성질

    - 내적한 값의 스칼라배는 스칼라의 분배법칙이 적용되지 않는다.

    - 두 벡터가 수직관계이면 내적값은 0, 내적값이 0이면 두 벡터는 수직

    - 벡터가 스스로 내적하면 노름의 제곱 (cos 값이 0이기 때문)

 

정사영 벡터 (projection)

벡터 a에 대한 벡터 b의 정사영

$$\text{vector projection} = \text{scalar projection} \times \text{unit vector} = \frac{a \cdot b}{\vert a \vert} \cdot \frac{a}{\vert a \vert} = \frac{b \cdot a}{a \cdot a} \cdot a$$

 

외적 (cross product)

1) 정의

    - 두 벡터 (3차원)와 수직이 되는 벡터 (내적 값은 스칼라)

    - 2차원에서 다룰 때는 z축을 0으로 두고 계산한다.

    - 벡터 a에서 b방향으로 오른손을 감았을 때, 엄지손가락의 방향이 외적의 방향

$$\text{x} \times \text{y} = ||\text{x}||\ ||\text{y}||sin θ$$

    - 벡터 a (a1, a2, a3)와 b (b1, b2, b3)의 외적을 구할 때 다음과 같다. (i, j, k = unit vector)

$$\begin{aligned} \det\left( \left[ \begin{array}{ccc} {\hat{\imath}} & {\hat{\jmath}} & {\hat{k}} \\ {a_1} & {a_2} & {a_3} \\ {b_1} & {b_2} & {b_3} \end{array} \right] \right) &= {\hat{\imath}} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} {a_2} & {a_3} \\ {b_2} & {b_3} \end{array} \right] \right) \\ \\ &- {\hat{\jmath}} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} {a_1} & {a_3} \\ {b_1} & {b_3} \end{array} \right] \right) \\ \\ &+ {\hat{k}} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} {a_1} & {a_2} \\ {b_1} & {b_2} \end{array} \right] \right) \\ \\ &= \vec{a} \times \vec{b} \end{aligned}$$

2) 성질

    - 교환법칙, 결합법칙이 성립하지 않는다.

    - 외적 값으로 나온 벡터는 동시에 수직이다.

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	return value	dimension	meaning
내적 (dot product)	number	any number of dimensions	how much two vectors point in the same direction
외적 (cross product)	vector	3-dimension	how much two vectors point in different direction