확률 변수
1) 정의
- 표본공간에 있는 모든 원소를 실수에 대응하는 함수
$$Real numbers = f(Elements of the sample space)$$
2) 이산형 확률변수 (Discrete random variables)
- 확률변수의 아웃풋 값이 유한하게 셀 수 있는 숫자
- 코로나 확진자 수
- 학교 재학생 수
3) 연속형 확률변수 (Continuous random variables)
- 확률변수의 아웃풋 값이 연속적인 (셀 수 없는) 숫자
- 시도별 연간 소득
- 1학년 학생들의 키
확률함수 (Probability function)
1) 정의
- 확률변수로 정의된 실수가 나올 확률
$$p = f(Real Number)$$
Probability mass function (pmf; 확률질량함수)
1) 정의
- 확률변수가 discrete 일 때의 확률함수
$$p(x) = P[X = x]$$
- pmf 값들은 확률이다.
- p(x)값은 모든 x에 대해 0과 1 사이이고 이를 모두 더하면 1이 나온다
2) Expectation of discrete random variable (기대값)
$$E[X] = \sum_{a}^{}x_{i}f_{X}(x_{i})$$
- 산술평균 (동일한 가중치 부여 했을 때의 평균; 일반적으로 평균 구하는 경우)과 다르게 가중평균이다.
i.e. flip 2 coins, X = number of heads -> p(0) = 1/4, p(1) = 1/2, p(2) = 1/4
E[X] = (0)(1/4) + (1)(1/2) + (2)(1/4) = 1
- c가 constant value일 때, E[c]의 값
$$E[c] = \sum_{}^{}c \cdot p(x) = c \sum_{}^{} p(x) = c \cdot 1 = c$$
3) Variance (분산)
$$V(X) = E[(X - E[X])^2]$$
$$E(X^2) - {E(X)}^2$$
- 확률 변수 X와 기대값 X의 차의 제곱 값의 기대값
- 평균을 기점으로 기대값들이 얼마나 떨어져 있는지 제곱값으로 나타낸 것이다.
4) Standard deviation (표준편차)
$$SD[X] = \sqrt{V[X]}$$
Probability density function (pdf; 확률밀도함수)
1) 정의
- 확률변수가 continuous 일 때의 확률함수
- 이산형의 확률분포를 계산할 때, summation (시그마)를 사용했다면 연속형은 integral 사용한다.
- 확률은 f(x)곡선에서 구간 안의 면적이다.
$$P(a<=X<=b) = \int_{a}^{b}f(x)dx$$
2) 특성
- 0보다 크다
$$f(x) >= 0, \forall x$$
- 모든 구간의 합은 1이다.
$$P(X \in (-\infty, \infty))\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1$$
- 특정 지점에서의 값은 0이다.
$$$P(X=a) = P[a<= X <= a] = \int_{a}^{a}f(x)dx = 0$
- 위의 특성에서 특정 지점의 근사값을 구하기 위해 매우 작은 epsilon 구간의 값을 구한다.
$$P(a-\frac{\varepsilon}{2} <= X <= a + \frac{\varepsilon}{2}) = \int_{a-\frac{\varepsilon}{2}}^{a+\frac{\varepsilon}{2}}f(x) dx \approx \varepsilon f(a)$$
- 등호는 해당 지점에서의 값이 0이기 때문에 의미가 없다.
3) 기대값
- 확률 변수 X에 대한 기대값
$$E[X] = \int_{}^{}xf(x)dx$$
- 확률 변수 X에 대한 함수 g(X)에 대한 기대값
$$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx$$
4) 분산
$$V[X] = E[(X-\mu)^{2}]$$
$$V[X] = E[X^{2}] - (E[X])^{2}$$
Cumulative density function (cdf; 누적분포함수)
1) 정의
$$F(x) = P[X <= x] = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt\;\;\;\;\; f(t) = pdf$$
$$\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$$
2) 특성
$$0<= F(x) <= 1, \; \forall x$$
$$If b >= a, then F(b) >= F(a)$$
$$F(b)- F(a) = P[a<= X <= b]$$
확률분포 (Probability distribution)
1) 정의
- 확률함수로 부터 생성된 확률 값들의 패턴 (매우 다양함)
- 왼쪽이 이산형, 오른쪽이 연속형 확률분포이다.
위의 내용은 고려대학교 김성범 교수님의 유튜브 강의를 정리한 것입니다.
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